Point d'inflexion

La courbe de $f$ traverse sa tangente en $0$ :

$f$ est dérivable en $0$ car ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\underset{x\to 0}{lim}{x}^4(\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+2)=0}$ et donc $f^{\prime }(0)=0$ et donc une équation de la tangente en $0$ est $y=0$

La courbe de $f$ traverse sa tangente en $0$, car pour $x>0$, $f(x)>0$ et pour $x<0$, $f(x)<0$

$f$ ne change pas de convexité en $0$ :

Pour $x\ne 0$, $f^{\prime }(x)=5x^4(\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+2)-x^3\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$

$f^{\prime }$ est dérivable en $0$ car ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x-0}}=\underset{x\to 0}{lim}5x^3(\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+2)-x^2\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=0}$ et donc $f^{″}(0)=0$

Pour $x\ne 0$, $f^{″}(x)=20x^3(\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+2)-8x^2\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$

$f^{″}$ est continue en $0$ s’annule en $0$ et $f^{″}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Pour $k\in \mathbb{Z}$, $f^{″}\left({\displaystyle \frac{1}{k\pi }}\right)={\displaystyle \frac{40}{k^3{\pi }^3}}+(-1{)}^{k+1}{\displaystyle \frac{8}{k^2{\pi }^2}}\sim (-1{)}^{k+1}{\displaystyle \frac{8}{k^2{\pi }^2}}$

donc $f^{″}\left({\displaystyle \frac{1}{k\pi }}\right)$ est de même signe que $(-1{)}^{k+1}$ et donc $f^{″}(x)$ change de signe une infinité de fois dans tout intervalle ouvert contenant $0$.

Ainsi $f^{″}(x)$ s’annule en $0$, mais ne change pas de signe en $0$.

lien geogebra

et images avec différents zooms

inflexion1

inflexion2

inflexion3